Leçons d'Analyse et Probabilités
Vous trouverez ci-dessous des plans, des développements et des exercices pour l'épreuves orales d'analyse et probabilités.
La dernière mise à jour de cette page date de octobre 2018.
Je vous recommande de lire l'extrait ci-dessous du rapport du jury expliquant le déroulement et les attendus de l'épreuve.
Voici quelques remarques sur les ressources ci-dessous.
- Les plans ci-dessous sont publiés dans le but de vous donner des pistes de réfléxions.
Pour une même leçon, différents plans sont possibles. Ceux présentés ci-dessous ne sont donc qu'une possibilité.
- Recopier un plan sans y réfléchir et sans le travailler ne vous permet pas de préparer correctement vos oraux.
Il faut adapter son plan par rapport à son niveau sur le sujet pour être capable de répondre aux questions du jury.
- La liste des développements proposés ci-dessous n'est pas exhaustive.
201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications.
202 - Exemples de parties denses et applications.
203 - Utilisation de la notion de compacité.
204 - Connexité. Exemples et applications.
205 - Espaces complets. Exemples et applications.
207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
209 - Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
- Plan de leçon.
- Exercices.
213 - Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.
215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
218 - Applications des formules de Taylor.
219 - Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
220 - Équations différentielles X'=f(t,X). Exemples d’étude des solutions en dimension 1 et 2.
221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
222 - Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.
- Plan de leçon.
- Exercices.
223 - Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
224 - Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
- Plan de leçon.
- Exercices.
226 - Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
228 - Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
233 - Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.
- Plan de leçon.
- Exercices.
234 - Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
235 - Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.
- Plan de leçon.
- Exercices.
236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
241 - Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
245 - Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.
250 - Transformation de Fourier. Applications.
253 - Utilisation de la notion de convexité en analyse.
260 - Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.
- Plan de leçon.
- Exercices.
261 - Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
262 - Convergences d'une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
- Plan de leçon.
- Exercices.
263 - Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
- Plan de leçon.
- Exercices.
264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
- Plan de leçon.
- Exercices.
265 - Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
- Plan de leçon.
- Exercices.